Bueno por partes, el tapón como bien te han comentado aunque parezca mentira es una parte tan importante como el termostato, es necesario que el tapón regule la presión, tiene que abrir a la presión que indica el fabricante, aparte que cierre bien o que cuando se abra salga presión no indica que esté bien, solo que mantiene cerrado el circuito.
Según comentas, no se ha cambiado nada más que termostato, imagino que cuando se hizo está operación se vacío el motor o se aprovecho para cambiar todo el refrigerante, también que el refrigerante sea el adecuado.
En caso de fallo en la bomba de agua, la temperatura nunca llegaría a regular ya que no permitiría la circulación y como indicas que en parado mantiene estable la temperatura ya sea acelerando o manteniendo durante largos tiempo.
Desde mi punto de vista y con la experiencia de varios coches recuperados de ir al desguace por una suposición de culata mal por subida de presión y temperatura, siendo la causa real una cosa tan simple como el tapón del depósito expansión que mantiene la presión en el circuito por encima de los valores tolerables causando que cuando el motor tiene esfuerzo no pueda regular bien la temperatura por causa de la sobrepresión.
Referente a la pregunta que hiciste de cómo purgar el circuito, solo hay que dejar con el tapón abierto para que todo el aire vaya a la parte superior del circuito llegará un momento en que el nivel de anticongelante empiece a subir, ahí ya estará el circuito completamente purgado.